Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ por $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ por $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{4 + 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

Paso 2.4.2

Reescribe $- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ como $- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ .

$- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

Paso 3

Expande $(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 (2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Paso 4.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Paso 4.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5})$

Paso 4.1.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{25})$

Paso 4.1.5

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}})$

Paso 4.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 5)$

Paso 4.2

Suma $6$ y $5$ .

$- (11 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5})$

Paso 4.3

Suma $3 \sqrt{5}$ y $2 \sqrt{5}$ .

$- (11 + 5 \sqrt{5})$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 11 - (5 \sqrt{5})$

Paso 6

Multiplica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$- 11 - (5 \sqrt{5})$

Paso 6.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

Forma decimal:

$- 22.18033988 \dots$